Здесь будут изложены те свойства, которые обычно используются для вычисления определителей в стандартном курсе высшей математики. Это вспомогательная тема, к которой будем обращаться из остальных разделов по мере необходимости.

Итак, пусть задана некая квадратная матрица $A_{n\times n}=\left(\begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right)$. Каждая квадратная матрица обладает характеристикой, которая называется определителем (или детерминантом). Я не стану вдаваться здесь в суть этого понятия. Если оно требует пояснений, то прошу отписать об этом на форум , и я коснусь данного вопроса детальнее.

Обозначается определитель матрицы $A$ как $\Delta A$, $|A|$ или $\det A$. Порядок определителя равен количеству строк (столбцов) в нём.

1. Значение определителя не изменится, если его строки заменить соответствующими столбцами, т.е. $\Delta A=\Delta A^T$.

   показать\скрыть

   Заменим в нём строки столбцами по принципу: "была первая строка - стал первый столбец", "была вторая строка - стал второй столбец":

   Вычислим полученный определитель: $\left| \begin{array} {cc} 2 & 9 \\ 5 & 4 \end{array} \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Как видите, значение определителя от проведённой замены не изменилось.

2. Если поменять местами две строки (столбца) определителя, то знак определителя изменится на противоположный.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {cc} 2 & 5 \\ 9 & 4 \end{array} \right|$. Найдём его значение, используя формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков :

   $$\left| \begin{array} {cc} 2 & 5 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   Теперь поменяем местами первую и вторую строки. Получим определитель $\left| \begin{array} {cc} 9 & 4 \\ 2 & 5 \end{array} \right|$. Вычислим полученный определитель: $\left| \begin{array} {cc} 9 & 4 \\ 2 & 5 \end{array} \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Итак, значение исходного определителя равнялось (-37), а у определителя с изменённым порядком строк значение равно $-(-37)=37$. Знак определителя изменился на противоположный.

3. Определитель, у которого все элементы строки (столбца) равны нулю, равен нулю.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Так как в определителе $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end{array} \right|$ все элементы третьего столбца равны нулю, то определитель равен нулю, т.е. $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end{array} \right|=0$.

4. Определитель, у которого все элементы некоей строки (столбца) равны соответствующим элементам иной строки (столбца) равен нулю.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Так как в определителе $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end{array} \right|$ все элементы первой строки равны соответствующим элементам второй строки, то определитель равен нулю, т.е. $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end{array} \right|=0$.

5. Если в определителе все элементы одной строки (столбца) пропорциональны соответствующим элементам иной строки (столбца), то такой определитель равен нулю.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Так как в определителе $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end{array} \right|$ вторая и третья строки пропорциональны, т.е. $r_3=-3\cdot{r_2}$, то определитель равен нулю, т.е. $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end{array} \right|=0$.

6. Если все элементы строки (столбца) имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|$. Заметьте, что все элементы второй строки делятся на 3:

   $$\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|=\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end{array} \right|$$

   Число 3 и есть общий множитель всех элементов второй строки. Вынесем тройку за знак определителя:

   $$ \left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|=\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end{array} \right|= 3\cdot \left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -3 & 7 \end{array} \right| $$

7. Определитель не изменится, если ко всем элементам некоей строки (столбца) прибавить соответствующие элементы иной строки (столбца), умноженные на произвольное число.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|$. Прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 5. Записывают это действие так: $r_2+5\cdot{r_3}$. Вторая строка будет изменена, остальные строки останутся без изменений.

   $$ \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right| \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+5\cdot{r_3}\\ \phantom{0} \end{array}= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|. $$

8. Если в определителе некая строка (столбец) есть линейная комбинация иных строк (столбцов), то определитель равен нулю.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Сразу поясню, что означает словосочетание "линейная комбинация". Пусть у нас есть s строк (или столбцов): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Выражение

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   где $k_i\in R$ называется линейной комбинацией строк (столбцов) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

   Для примера рассмотрим такой определитель:

   $$ \left| \begin{array} {cccc} -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end{array} \right| $$

   В этом определителе четвертую строку можно выразить как линейную комбинацию первых трёх строк:

   $$ r_4=2\cdot{r_1}+3\cdot{r_2}-r_3 $$

   Следовательно, рассматриваемый определитель равен нулю.

9. Если каждый элемент некоей k-й строки (k-го столбца) определителя равен сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме определителей, у первого из которых в k-й строке (k-м столбце) стоят первые слагаемые, а у второго определителя в k-й строке (k-м столбце) расположены вторые слагаемые. Иные элементы этих определителей одинаковы.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|$. Запишем элементы второго столбца так: $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end{array} \right|$. Тогда такой определитель равен сумме двух определителей:

   $$ \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end{array} \right|+ \left| \begin{array} {ccc} -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end{array} \right| $$

10. Определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц, т.е. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Из этого правила можно получить такую формулу: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. Если матрица $A$ - невырожденная (т.е. её определитель не равен нулю), то $\det \left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\det A}$.

Формулы для вычисления определителей

Для определителей второго и третьего порядков верны такие формулы:

\begin{equation} \Delta A=\left| \begin{array} {cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21} \end{equation} \begin{equation} \begin{aligned} & \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|= a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{21}\cdot a_{32}\cdot a_{13}-\\ & -a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}-a_{23}\cdot a_{32}\cdot a_{11} \end{aligned} \end{equation}

Примеры применения формул (1) и (2) есть в теме "Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Примеры вычисления определителей" .

Определитель матрицы $A_{n\times n}$ можно разложить по i-й строке, используя следующую формулу:

\begin{equation}\Delta A=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\ldots+a_{in}A_{in} \end{equation}

Аналог данной формулы существует и для столбцов. Формула для разложения определителя по j-му столбцу выглядит следующим образом:

\begin{equation}\Delta A=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots+a_{nj}A_{nj} \end{equation}

Правила, выраженные формулами (3) и (4), подробно проиллюстрированы примерами и пояснены в теме Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу) .

Укажем еще одну формулу для вычисления определителей верхних треугольных и нижних треугольных матриц (пояснение этих терминов см. в теме "Матрицы. Виды матриц. Основные термины"). Определитель такой матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Примеры:

\begin{aligned} &\left| \begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end{array} \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin{array} {cccc} -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end{array} \right|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end{aligned}

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Лекция 1. Матрицы

1. Понятие матрицы. Типы матриц

2. Алгебра матриц

Лекция 2. Определители

1. Определители квадратной матрицы и их свойства

2. Теоремы Лапласа и аннулирования

Лекция 3. Обратная матрица

1. Понятие обратной матрицы. Единственность обратной матрицы

2. Алгоритм построения обратной матрицы. Свойства обратной матрицы

4. Задачи и упражнения

4.1. Матрицы и действия над ними

4.2. Определители

4.3. Обратная матрица

5. Индивидуальные задания

Литература

ЛЕКЦИЯ 1. МАТРИЦЫ

План

1. Понятие матрицы. Типы матриц.

2. Алгебра матриц.

Ключевые понятия

Диагональная матрица.

Единичная матрица.

Нулевая матрица.

Симметричная матрица.

Согласованность матриц.

Транспонирование.

Треугольная матрица.

1. ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ. ТИПЫ МАТРИЦ

Прямоугольную таблицу

состоящую из m строк и n столбцов, элементами которой являются действительные числа , где i – номер строки, j - номер столбца на пересечении которых стоит этот элемент, будем называть числовой матрицей порядка m´n и обозначать .

Рассмотрим основные типы матриц:

1. Пусть m = n, тогда матрица А – квадратная матрица, которая имеет порядок n:

А = .

Элементы образуют главную диагональ, элементы образуют побочную диагональ.

диагональной , если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю:

А = = diag ().

Диагональная, а значит квадратная, матрица называется единичной , если все элементы главной диагонали равны 1:

Е = = diag (1, 1, 1,…,1).

Заметим, что единичная матрица является матричным аналогом единицы во множестве действительных чисел, а также подчеркнем, что единичная матрица определяется только для квадратных матриц.

Приведем примеры единичных матриц:

Квадратные матрицы

А = , В =

называются верхней и нижней треугольными соответственно.

2 . Пусть m = 1, тогда матрица А – матрица-строка, которая имеет вид:

3 . Пусть n=1, тогда матрица А – матрица-столбец, которая имеет вид:

4 .Нулевой матрицей называется матрица порядка m´n, все элементы которой равны 0:

Заметим, что нулевая матрица может быть квадратной, матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Нулевая матрица есть матричный аналог нуля во множестве действительных чисел.

5 . Матрица называется транспонированной к матрице и обозначается , если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы .

Пример . Пусть = , тогда = .

Заметим, если матрица А имеет порядок m´n, то транспонированная матрица имеет порядок n´m.

6 . Матрица А называется симметричной , если А=А, и кососимметричной , если А = –А.

Пример . Исследовать на симметричность матрицы А и В.

Тогда = , следовательно, матрица А – симметричная, так как А = А.

В = , тогда = , следовательно, матрица В – кососимметричная, так как В = – В.

Заметим, что симметричная и кососимметричная матрицы всегда квадратные. На главной диагонали симметричной матрицы могут стоять любые элементы, а симметрично относительно главной диагонали должны стоять одинаковые элементы, то есть =. На главной диагонали кососимметричной матрицы всегда стоят нули, а симметрично относительно главной диагонали = – .

2. АЛГЕБРА МАТРИЦ

Рассмотрим действия над матрицами, но вначале введем несколько новых понятий.

Две матрицы А и В называются матрицами одного порядка, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.

Пример. и – матрицы одного порядка 2´3;

И – матрицы разных порядков, так как 2´3≠3´2.

Понятия ″больше″ и ″меньше″ для матриц не определяют.

Матрицы А и В называются равными, если они одного порядка m´n, и = , где 1, 2, 3, …, m, а j = 1, 2, 3, …, n.

Умножение матрицы на число.

Умножение матрицы А на число λ приводит к умножению каждого элемента матрицы на число λ:

λА = , λR.

Из данного определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Пример.

Пусть матрица А =, тогда 5А==.

Пусть матрица В = = = 5.

Свойства умножения матрицы на число :

2) (λμ)А = λ(μА) = μ(λА), где λ,μ R;

3) (λА) = λА;

Сумма (разность) матриц .

Сумма (разность) определяется лишь для матриц одного порядка m´n.

Суммой (разностью) двух матриц А и В порядка m´n называется матрица С того же порядка, где = ± ( 1, 2, 3, …, m ,

j = 1, 2, 3, …, n.).

Иными словами, матрица С состоит из элементов, равных сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В.

Пример . Найти сумму и разность матриц А и В.

тогда =+==,

=–==.

Если же = , = , то А ± В не существует, так как матрицы разного порядка.

Из данных выше определений следуют свойства суммы матриц:

1) коммутативность А+В=В+А;

2) ассоциативность (А+В)+С=А+(В+С);

3) дистрибутивность к умножению на число λR: λ(А+В) = λА+λВ;

4) 0+А=А, где 0 – нулевая матрица;

5) А+(–А)=0, где (–А) – матрица, противоположная матрице А;

6) (А+В)= А+ В.

Произведение матриц.

Операция произведения определяется не для всех матриц, а лишь для согласованных.

Матрицы А и В называются согласованными , если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Так, если , , m≠k, то матрицы А и В согласованные, так как n = n, а в обратном порядке матрицы В и А несогласованные, так как m ≠ k. Квадратные матрицы согласованы, когда у них одинаковый порядок n, причем согласованы как А и В, так и В и А. Если , а , то будут согласованы матрицы А и В, а также матрицы В и А, так как n = n, m = m.

Произведением двух согласованных матриц и

А=, В=

называется матрица С порядка m´k:

=∙, элементы которой вычисляются по формуле:

(1, 2, 3, …, m , j=1, 2, 3, …, k),

то есть элемент i –ой строки и j –го столбца матрицы С равен сумме произведений всех элементов i –ой строки матрицы А на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В.

Пример . Найти произведение матриц А и В.

∙===.

Произведение матриц В∙А не существует, так как матрицы В и А не согласованы: матрица В имеет порядок 2´2, а матрица А – порядок 3´2.

Рассмотрим свойства произведения матриц:

1 ) некоммутативность: АВ ≠ ВА, даже если А и В, и В и А согласованы. Если же АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутирующими (матрицы А и В в этом случае обязательно будут квадратными).

Пример 1 . = , = ;

==;

==.

Очевидно, что ≠ .

Пример 2 . = , = ;

= = =;

= = = .

Вывод: ≠, хотя матрицы и одного порядка.

2 ) для любых квадратных матриц единичная матрица Е является коммутирующей к любой матрице А того же порядка, причем в результате получим ту же матрицу А, то есть АЕ = ЕА = А.

Пример .

===;

===.

3 ) A·0 = 0·A = 0.

4 ) произведение двух матриц может равняться нулю, при этом матрицы А и В могут быть ненулевыми.

Пример .

= ==.

5 ) ассоциативность АВС=А(ВС)=(АВ)С:

· (·

Пример .

Имеем матрицы , , ;

тогда Аּ(ВּС) = (·

(АּВ)ּС=

===

==.

Таким образом, мы на примере показали, что Аּ(ВּС) = (АּВ)ּС.

6 ) дистрибутивность относительно сложения:

(А+В)∙С = АС + ВС, А∙(В + С)=АВ + АС.

7) (А∙В)= В∙А.

Пример.

, =.

Тогда АВ =∙==

=(А∙В )= =

В ∙А =∙ = ==.

Таким образом, (А∙В )= В А .

8 ) λ(АּВ) = (λА)ּ В = Аּ (λВ), λ,R.

Рассмотрим типовые примеры на выполнение действий над матрицами, то есть требуется найти сумму, разность, произведение (если они существуют) двух матриц А и В.

Пример 1 .

, .

Решение.

1) + = = =;

2) – ===;

3) произведение не существует, так как матрицы А и В несогласованы, впрочем, не существует и произведения по той же причине.

Пример 2 .

Решение.

1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 2´3, а матрица В – порядок 3´1;

2) так как матрицы А и В согласованны, то произведение матриц АּВ существует:

·=·==,

произведение матриц ВּА не существует, так как матрицы и несогласованны.

Пример 3.

Решение.

1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 3´2, а матрица В – порядок 2´3;

2) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны, но результатом таких произведений будут матрицы разных порядков: ·=, ·=.

= = ;

·=·= =

В данном случае АВ ≠ ВА.

Пример 4 .

Решение.

1) +===,

2) –= ==;

3) произведение как матриц А ּ В , так и В ּ А , существует, так как матрицы согласованны:

·==·==;

·==·==

=≠, то есть матрицы А и В некоммутирующие.

Пример 5 .

Решение.

1) +===,

2) –===;

3) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны:

·==·==;

·==·==

АּВ=ВּА, т. е. данные матрицы коммутирующие.

ЛЕКЦИЯ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

План

1. Определители квадратной матрицы и их свойства.

2. Теоремы Лапласа и аннулирования.

Ключевые понятия

Алгебраическое дополнение элемента определителя.

Минор элемента определителя.

Определитель второго порядка.

Определитель третьего порядка.

Определитель произвольного порядка.

Теорема Лапласа.

Теорема аннулирования.

1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ИХ СВОЙСТВА

Пусть А – квадратная матрица порядка n:

А=.

Каждой такой матрице можно поставить в соответствие единственное действительное число, называемое определителем (детерминантом) матрицы и обозначаемое

Det A= Δ=.

Отметим, что определитель существует только для квадратных матриц.

Рассмотрим правила вычисления определителей и их свойства для квадратных матриц второго и третьего порядка, которые будем называть для краткости определителями второго и третьего порядка соответственно.

Определителем второго порядка матрицы называется число, определяемое по правилу:

т. е. определитель второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Пример .

Тогда == 4 · 3 – (–1) · 2=12 + 2 = 14.

Следует помнить, что для обозначения матриц используют круглые или квадратные скобки, а для определителя – вертикальные линии. Матрица – это таблица чисел, а определитель – число.

Из определения определителя второго порядка следуют его свойства :

1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами:

2. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке строк (столбцов) определителя:

3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:

4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:

6. Если элементы одной строки (столбца) определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей:

=+, =+.

7. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить (вычесть) соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число :

=+=,

так как =0 по свойству 5.

Остальные свойства определителей рассмотрим ниже.

Введем понятие определителя третьего порядка: определителем третьего порядка квадратной матрицы называется число

Δ == det A= =

=++– – – ,

т. е. каждое слагаемое в формуле (2) представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы запомнить, какие произведения в формуле (2) брать со знаком плюс, а какие со знаком минус, полезно знать правило треугольников (правило Саррюса):

Пример . Вычислить определитель

==

Следует отметить, что свойства определителя второго порядка, рассмотренные выше, без изменений переносятся на случай определителей любого порядка, в том числе и третьего.

2. ТЕОРЕМЫ ЛАПЛАСА И АННУЛИРОВАНИЯ

Рассмотрим еще два очень важных свойства определителей.

Введем понятия минора и алгебраического дополнения.

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из исходного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Обозначают минор элемента через .

Пример . = .

Тогда, например, = , = .

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор , взятый со знаком . Алгебраическое дополнение будем обозначать , то есть =.

Например:

= , === –,

Вернемся к формуле (2). Группируя элементы и вынося за скобки общий множитель, получим:

=(– ) +( – ) +(–)=

Аналогично доказываются равенства:

1, 2, 3; (3)

Формулы (3) называются формулами разложения определителя по элементам i-ой строки (j-го столбца), или формулами Лапласа для определителя третьего порядка.

Таким образом, мы получаем восьмое свойство определителя :

Теорема Лапласа . Определитель равен сумме всех произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца).

Заметим, что данное свойство определителя есть не что иное, как определение определителя любого порядка. На практике его используют для вычисления определителя любого порядка. Как правило, прежде чем вычислять определитель, используя свойства 1 – 7, добиваются того, если это возможно, чтобы в какой-либо строке (столбце) были равны нулю все элементы, кроме одного, а затем раскладывают по элементам строки (столбца).

Пример . Вычислить определитель

== (из второй строки вычтем первую) =

== (из третьей строки вычтем первую)=

== (разложим определитель по элементам третьей

строки) = 1ּ = (из второго столбца вычтем первый столбец) = = 1998ּ0 – 1ּ2 = –2.

Пример .

Рассмотрим определитель четвертого порядка. Для его вычисления воспользуемся теоремой Лапласа, то есть разложением по элементам строки (столбца).

== (так как второй столбец содержит три нулевых элемента, то разложим определитель по элементам второго столбца)= =3ּ= (из второй строки вычтем первую, умноженную на 3, а из третьей строки вычтем первую, умноженную на 2) =

3ּ= (разложим определитель по элементам первого столбца) = 3ּ1ּ =

Девятое свойство определителяносит название теорема аннулирования :

сумма всех произведений элементов одной строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю, то есть

++ = 0,

Пример .

= = (разложим по элементам третьей строки)=

0ּ+0ּ+ּ = –2.

Но, для этого же примера: 0ּ+0ּ+1ּ=

0ּ +0ּ+1ּ = 0.

Если определитель любого порядка имеет треугольный вид

=, то он равен произведению элементов, стоящих на диагонали:

=ּּ … ּ. (4)

Пример. Вычислить определитель.

=

Иногда при вычислении определителя с помощью элементарных преобразований удается свести его к треугольному виду, после чего применяется формула (4).

Что касается определителя произведения двух квадратных матриц, то он равен произведению определителей этих квадратных матриц: .

ЛЕКЦИЯ 3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

План

1. Понятие обратной матрицы. Единственность обратной матрицы.

2. Алгоритм построения обратной матрицы.

Свойства обратной матрицы.

Ключевые понятия

Обратная матрица.

Присоединенная матрица.

1. ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

В теории чисел наряду с числом определяют число, противоположное ему () такое, что , и число, обратное ему такое, что . Например, для числа 5 противоположным будет число

(– 5), а обратным будет число . Аналогично, в теории матриц мы уже ввели понятие противоположной матрицы, ее обозначение (– А). Обратной матрицей для квадратной матрицы А порядка n называется матрица , если выполняются равенства

где Е – единичная матрица порядка n.

Сразу же отметим, что обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц.

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если detA ≠ 0. Если же detA = 0, то матрица А называется вырожденной (особенной).

Отметим, что невырожденная матрица А имеет единственную обратную матрицу . Докажем это утверждение.

Пусть для матрицы А существует две обратные матрицы ,, то есть

Тогда =ּ=ּ() =

Что и требовалось доказать.

Найдем определитель обратной матрицы. Так как определитель произведения двух матриц А и В одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц, т. е. , следовательно, произведение двух невырожденных матриц АВ есть невырожденная матрица.

Делаем вывод, что определитель обратной матрицы есть число, обратное определителю исходной матрицы.

2. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Покажем, что, если матрица А невырожденная, то для нее существует обратная матрица, и построим ее.

Составим матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы А:

Транспонируя ее, получим так называемую присоединенную матрицу:

.

Найдем произведение ּ. С учетом теоремы Лапласа и теоремы аннулирования:

ּ = =

=.

Делаем вывод:

Алгоритм построения обратной матрицы.

1)Вычислить определитель матрицы А . Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует.

2)Если определитель матрицы не равен нулю, то составить из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А матрицу .

3)Транспонируя матрицу , получить присоединенную матрицу .

4)По формуле (2) составить обратную матрицу .

5)По формуле (1) проверить вычисления.

Пример . Найти обратную матрицу.

а). Пусть А=. Так как матрица А имеет две одинаковые строки, то определитель матрицы равен нулю. Следовательно, матрица вырожденная, и для нее не существует обратной матрицы.

б). Пусть А =.

Вычислим определитель матрицы

обратная матрица существует.

Составим матрицу из алгебраических дополнений

= = ;

транспонируя матрицу , получим присоединенную матрицу

по формуле (2) найдем обратную матрицу

==.

Проверим правильность вычислений

= = .

Следовательно, обратная матрица построена верна.

Свойства обратной матрицы

1. ;

2. ;

3. .

4. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

4.1 Матрицы и действия над ними

1. Найти сумму, разность, произведения двух матриц А и В.

а), ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , ;

е) , ;

ж) , ;

з) , ;

и) , .

2. Доказать, что матрицы А и В коммутирующие.

а) , ; б) , .

3. Даны матрицы А. В и С. Показать, что (АВ)·С=А·(ВС).

а) , , ;

б) , , .

4. Вычислить (3А – 2В)·С, если

, , .

5. Найти , если

а) ; б) .

6. Найти матрицу Х, если 3А+2Х=В, где

, .

7. Найти АВС, если

а) , , ;

б) , , .

ОТВЕТЫ ПО ТЕМЕ «МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ»

1. а) , ;

б) произведения АВ и ВА не существуют;

в) , ;

г) , ;

д) суммы, разности и произведения ВА матриц не существуют, ;

е) , ;

ж) произведения матриц не существуют;

з) , ;

и) , .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. .

5. а) ; б) .

6. .

7. а) ; б) .

4.2 Определители

1. Вычислить определители

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

3. С помощью правила треугольников вычислить определители

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Вычислить определители примера 2, используя теорему Лапласа.

5. Вычислить определители, предварительно упростив их:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) .

6. Вычислить определитель методом приведения его к треугольному виду

.

7. Пусть даны матрицы А и В. Доказать, что :

, .

ОТВЕТЫ ПО ТЕМЕ «ОПРЕДЕЛИТЕЛИ»

1. а) 10; б) 1; в) 25; г) 16; д) 0; е) –3; ж) -6; з) 1.

2. а) –25; б) 168; в) 21; г) 12.

3. а) –25; б) 168; в) 21; г) 12.

4. а) 2; б) 0; в) 0; г) 70; д) 18; е) –66; ж) -36.

4.3 Обратная матрица

1. Найти обратную матрицу:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) ; л) ;

м) ; н) .

2. Найти обратную матрицу и проверить выполнение условия :

а) ; б) .

3. Доказать равенство :

а) , ; б) ,.

4. Доказать равенство :

а) ; б) .

ОТВЕТЫ ПО ТЕМЕ «ОБРАТНАЯ МАТРИЦА»

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ;

з) ; и) ;

к) ; л) ;

м) ; н) .

2. а) ; б) .

2. а) , , =;

б) , ,

=.

5. а) , ,

, ;

б) , ,

, .

5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Вычислить определитель разложением

а) по i- той строке;

б) по j- тому столбцу.

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

i=2, j=3. i=4, j=1. i=3, j=2.

1.4. ; 1.5. ; 1.6. ;

i=3, j=3. i=1, j=4. i=2, j=2.

1.7. ; 1.8. ; 1.9. ;

i=4, j=4. i=2, j=2. i=3, j=2.

1.10. ; 1.11. ; 1.12. ;

i=2, j=1. i=1, j=2. i=3, j=2.

1.13. ; 1.14. ; 1.15. ;

i=2, j=3. i=1, j=3. i=4, j=2.

1.16. ; 1.17. ; 1.18. ;

i=2, j=3. i=2, j=4. i=1, j=3.

1.19. ; 1.20. ; 1.21. ;

i=2, j=2. i=1, j=4. i=3, j=2.

1.22. ; 1.23. ; 1.24. ;

i=1, j=3. i=2, j=1. i=3, j=4.

1.25. ; 1.26. ; 1.27. ;

i=4, j=3. i=3, j=3. i=1, j=2.

1.28. ; 1.29. ; 1.30. .

i=3, j=3. i=2, j=1. i=3, j=2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика. – Мн.: Выш. шк., 1992.- 384 с.

2. Гусак А.А. Справочное пособие к решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра. – Мн.: Тетрасистемс, 1998.- 288 с.

3. Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Часть 1. –Мн.: Амалфея, 1999. – 208 с.

4. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. I семестр. М.: Новое знание, 2002.- 140 с.

5.Коваленко Н.С., Минченков Ю.В., Овсеец М.И. Высшая математика. Учеб. пособие. -Мн.: ЧИУП, 2003. – 32 с.

Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det А (или |A |, или ), называемое ее определителем , следующим образом:

Определитель матрицы A также называют ее детерминантом . Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда (свойство 7). При этом заметим, что определители невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению.

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

Пример 4.1. Найти определители матриц

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:

Пример 4.2. Вычислить определитель матрицы

det А = 5*1*(-3) + (-2)*(-4)*6 + 3*0*1 — 6*1*1 — 3*(-2)*(-3) — 0*(-4)*5 = -15+48-6-18 = 48-39 = 9.

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.

Свойство 1 («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот. Иными словами,

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя .

Свойство 2 . При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Свойство 3 . Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4 . Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

Действительно,

Свойство 5 . Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Например,

Свойство 6. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одною ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные па любое число.

Пример 4.3 . Доказать, что

Решение: Действительно, используя свойства 5, 4 и 3 подучим

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.

Минором некоторого элемента аij определителя n- го порядка называется определитель n — 1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, па пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij

Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i + j четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается Aij :

Свойство 7 («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Большинство математических моделей в экономике описываются с помощью матриц и матричного исчисления.

Матрица - это прямоугольная таблица, содержащая числа, функции, уравнения или другие математические объекты, расположенные в строках и столбцах.

Объекты, составляющие матрицу, называют ее элементами . Матрицы обозначают заглавными латинскими буквами

а их элементы – строчными.

Символ
означает, что матрицаимеет
строк истолбцов,элемент, находящийся на пересечении–й строки и–го столбца
.

.

Говорят, что матрица А равна матрице В : А=В , если они имеют одинаковую структуру (то есть одинаковое число строк и столбцов) и их соответсвующие элементы тождественно равны
, для всех
.

Частные виды матриц

На практике довольно часто встречаются матрицы специального вида. Некоторые методы предполагают также преобразования матриц от одного вида к другому. Наиболее часто встречающиеся виды матриц приведены ниже.

	квадратная матрица, число строк n равно числу столбцов n
	матрица-столбец
	матрица-строка
	нижняя треугольная матрица
	верхняя треугольная матрица
	нулевая матрица
	диагональная матрица
Е =	единичная матрица Е (квадратная)
	унитарная матрица
	ступенчатая матрица
	Пустая матрица

Элементы матрицы, с равными номерами строк и столбцов, то есть a ii образуют главную диагональ матрицы.

Операции над матрицами.

.

Свойства операций над матрицами

Специфические свойства оперций

Если произведение матриц
– существует, то произведение
может и не существовать. Вообще говоря,
. То есть умножение матриц не коммутативно. Если же
, тоиназывают коммутативными. Например, диагональные матрицы одного порядка коммутативны.

Если
, то необязательно
или
. Т.е., произведение ненулевых матриц может дать нулевую матрицу. Например

Операция возведения в степень определена только для квадратных матриц. Если
, то

.

По определению полагают
, и нетрудно показать, что
,
. Отметим, что из
не следует, что
.

Поэлементное возведение в степень А. m =
.

Операция транспонирования матрицы заключается в замене строк матрицы ее столбцами:

,

Например

,
.

Свойства транспонирования:

Определители и их свойства.

Для квадратных матриц часто используется понятие определителя – числа, которое вычисляется по элементам матрицы с использованием строго определенных правил. Это число является важной характеристикой матрицы и обозначается символами

.

Определителем матрицы
является ее элемент.

Определитель матрицы
вычисляется по правилу:

т.е., из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов дополнительной диагонали.

Для вычисления определителей более высокого порядка (
) необходимо ввести понятия минора и алгебраического дополнения элемента.

Минором
элемента называют определитель, который получают из матрицы, вычеркивая-ю строку и-й столбец.

Рассмотрим матрицу размером
:

,

тогда, например,

Алгебраическим дополнением элементаназывают его минор, умноженный на
.

,

Теорема Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, разлагая
по элементам первой строки, получим:

Последняя теорема дает универсальный способ вычисления определителей любого порядка, начиная со второго. В качестве строки (столбца) всегда выбирают тот, в котором имеется наибольшее число нулей. Например, требуется вычислить определитель четвертого порядка

В данном случае можно разложить определитель по первому столбцу:

или последней строке:

Этот пример показывает также, что определитель верхней треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. Нетрудно доказать, что этот вывод справедлив для любых треугольных и диагональных матриц.

Теорема Лапласа дает возможность свести вычисление определителя -го порядка к вычислениюопределителей
-го порядка и, в конечном итоге, к вычислению определителей второго порядка.

— Отпустите синицу на верную смерть!
Пусть её приласкает свобода!
И корабль плывёт, и реактор ревёт...
— Паш, ты упоролся?

Помню, класса до 8-го мне не нравилась алгебра. Вообще не нравилась. Бесила она меня. Потому что я там ничего не понимал.

А затем всё изменилось, потому что я просёк одну фишку:

В математике вообще (и алгебре в частности) всё строится на грамотной и последовательной системе определений. Знаешь определения, понимаешь их суть — разобраться в остальном не составит труда.

Вот так и с темой сегодняшнего урока. Мы детально рассмотрим несколько смежных вопросов и определений, благодаря чему вы раз и навсегда разберётесь и с матрицами, и с определителями, и со всеми их свойствами.

Определители — центральное понятие в алгебре матриц. Подобно формулам сокращённого умножения, они будут преследовать вас на протяжении всего курса высшей математики. Поэтому читаем, смотрим и разбираемся досконально.:)

И начнём мы с самого сокровенного — а что такое матрица? И как правильно с ней работать.

Правильная расстановка индексов в матрице

Матрица — это просто таблица, заполненная числами. Нео тут ни при чём.

Одна из ключевых характеристик матрицы — это её размерность, т.е. количество строк и столбцов, из которых она состоит. Обычно говорят, что некая матрица $A$ имеет размер $\left[ m\times n \right]$, если в ней имеется $m$ строк и $n$ столбцов. Записывают это так:

Или вот так:

Бывают и другие обозначения — тут всё зависит от предпочтений лектора/ семинариста/ автора учебника. Но в любом случае со всеми этими $\left[ m\times n \right]$ и ${{a}_{ij}}$ возникает одна и та же проблема:

Какой индекс за что отвечает? Сначала идёт номер строки, затем — столбца? Или наоборот?

При чтении лекций и учебников ответ будет казаться очевидным. Но когда на экзамене перед вами — только листик с задачей, можно переволноваться и внезапно запутаться.

Поэтому давайте разберёмся с этим вопросом раз и навсегда. Для начала вспомним обычную систему координат из школьного курса математики:

Введение системы координат на плоскости

Помните её? У неё есть начало координат (точка $O=\left(0;0 \right)$) оси $x$и $y$, а каждая точка на плоскости однозначно определяется по координатам: $A=\left(1;2 \right)$, $B=\left(3;1 \right)$ и т.д.

А теперь давайте возьмём эту конструкцию и поставим её рядом с матрицей так, чтобы начало координат находилось в левом верхнем углу. Почему именно там? Да потому что открывая книгу, мы начинаем читать именно с левого верхнего угла страницы — запомнить это легче лёгкого.

Но куда направить оси? Мы направим их так, чтобы вся наша виртуальная «страница» была охвачена этими осями. Правда, для этого придётся повернуть нашу систему координат. Единственно возможный вариант такого расположения:

Наложение системы координат на матрицу

Теперь всякая клетка матрицы имеет однозначные координаты $x$ и $y$. Например запись ${{a}_{24}}$ означает, что мы обращаемся к элементу с координатами $x=2$ и $y=4$. Размеры матрицы тоже однозначно задаются парой чисел:

Определение индексов в матрице

Просто всмотритесь в эту картинку внимательно. Поиграйтесь с координатами (особенно когда будете работать с настоящими матрицами и определителями) — и очень скоро поймёте, что даже в самых сложных теоремах и определениях вы прекрасно понимаете, о чём идёт речь.

Разобрались? Что ж, переходим к первому шагу просветления — геометрическому определению определителя.:)

Геометрическое определение

Прежде всего хотел бы отметить, что определитель существует только для квадратных матриц вида $\left[ n\times n \right]$. Определитель — это число, которое cчитается по определённым правилам и является одной из характеристик этой матрицы (есть другие характеристики: ранг, собственные вектора, но об этом в других уроках).

Ну и что это за характеристика? Что он означает? Всё просто:

Определитель квадратной матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ — это объём $n$-мерного параллелепипеда, который образуется, если рассмотреть строки матрицы в качестве векторов, образующих рёбра этого параллелепипеда.

Например, определитель матрицы размера 2x2 — это просто площадь параллелограмма, а для матрицы 3x3 это уже объём 3-мерного параллелепипеда — того самого, который так бесит всех старшеклассников на уроках стереометрии.

На первый взгляд это определение может показаться совершенно неадекватным. Но давайте не будем спешить с выводами — глянем на примеры. На самом деле всё элементарно, Ватсон:

Задача. Найдите определители матриц:

\[\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end{matrix} \right|\quad \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end{matrix} \right|\quad \left| \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end{matrix} \right|\]

Решение. Первые два определителя имеют размер 2x2. Значит, это просто площади параллелограммов. Начертим их и посчитаем площадь.

Первый параллелограмм построен на векторах ${{v}_{1}}=\left(1;0 \right)$ и ${{v}_{2}}=\left(0;3 \right)$:

Определитель 2x2 — это площадь параллелограмма

Очевидно, это не просто параллелограмм, а вполне себе прямоугольник. Его площадь равна

Второй параллелограмм построен на векторах ${{v}_{1}}=\left(1;-1 \right)$ и ${{v}_{2}}=\left(2;2 \right)$. Ну и что с того? Это тоже прямоугольник:

Ещё один определитель 2x2

Стороны этого прямоугольника (по сути — длины векторов) легко считаются по теореме Пифагора:

\[\begin{align} & \left| {{v}_{1}} \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left(-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}; \\ & \left| {{v}_{2}} \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}; \\ & S=\left| {{v}_{1}} \right|\cdot \left| {{v}_{2}} \right|=\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4. \\\end{align}\]

Осталось разобраться с последним определителем — там уже матрица 3x3. Придётся вспоминать стереометрию:

Определитель 3x3 — это объём параллелепипеда

Выглядит мозговыносяще, но по факту достаточно вспомнить формулу объёма параллелепипеда:

где $S$ — площадь основания (в нашем случае это площадь параллелограмма на плоскости $OXY$), $h$ — высота, проведённая к этому основанию (по сути, $z$-координата вектора ${{v}_{3}}$).

Площадь параллелограмма (мы начертили его отдельно) тоже считается легко:

\[\begin{align} & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\end{align}\]

Вот и всё! Записываем ответы.

Ответ: 3; 4; 24.

Небольшое замечание по поводу системы обозначений. Кому-то наверняка не понравится, что я игнорирую «стрелочки» над векторами. Якобы так можно спутать вектор с точкой или ещё с чем.

Но давайте серьёзно: мы с вами уже взрослые мальчики и девочки, поэтому из контекста прекрасно понимаем, когда речь идёт о векторе, а когда — о точке. Стрелки лишь засоряют повествование, и без того под завязку напичканное математическими формулами.

И ещё. В принципе, ничто не мешает рассмотреть и определитель матрицы 1x1 — такая матрица представляет собой просто одну клетку, а число, записанное в этой клетке, и будет определителем. Но тут есть важное замечание:

В отличие от классического объёма, определитель даст нам так называемый «ориентированный объём », т.е. объём с учётом последовательности рассмотрения векторов-строк.

И если вы хотите получить объём в классическом смысле этого слова, придётся взять модуль определителя, но сейчас не стоит париться об этом — всё равно через несколько секунд мы научимся считать любой определитель с любыми знаками, размерами и т.д.:)

Алгебраическое определение

При всей красоте и наглядности геометрического подхода у него есть серьёзный недостаток: он ничего не говорит нам о том, как этот самый определитель считать.

Поэтому сейчас мы разберём альтернативное определение — алгебраическое. Для этого нам потребуется краткая теоретическая подготовка, зато на выходе мы получим инструмент, позволяющий считать в матрицах что и как угодно.

Правда, там появится новая проблема... но обо всём по порядку.

Перестановки и инверсии

Давайте выпишем в строчку числа от 1 до $n$. Получится что-то типа этого:

Теперь (чисто по приколу) поменяем парочку чисел местами. Можно поменять соседние:

А можно — не особо соседние:

И знаете, что? А ничего! В алгебре эта хрень называется перестановкой. И у неё есть куча свойств.

Определение. Перестановка длины $n$ — строка из $n$ различных чисел, записанных в любой последовательности. Обычно рассматриваются первые $n$ натуральных чисел (т.е. как раз числа 1, 2, ..., $n$), а затем их перемешивают для получения нужной перестановки.

Обозначаются перестановки так же, как и векторы — просто буквой и последовательным перечислением своих элементов в скобках. Например: $p=\left(1;3;2 \right)$ или $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. Буква может быть любой, но пусть будет $p$.:)

Далее для простоты изложения будем работать с перестановками длины 5 — они уже достаточно серьёзны для наблюдения всяких подозрительных эффектов, но ещё не настолько суровы для неокрепшего мозга, как перестановки длины 6 и более. Вот примеры таких перестановок:

\[\begin{align} & {{p}_{1}}=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & {{p}_{2}}=\left(1;3;2;5;4 \right) \\ & {{p}_{3}}=\left(5;4;3;2;1 \right) \\\end{align}\]

Естественно, перестановку длины $n$ можно рассматривать как функцию, которая определена на множестве $\left\{ 1;2;...;n \right\}$ и биективно отображает это множество на себя же. Возвращаясь к только что записанным перестановкам ${{p}_{1}}$, ${{p}_{2}}$ и ${{p}_{3}}$, мы вполне законно можем написать:

\[{{p}_{1}}\left(1 \right)=1;{{p}_{2}}\left(3 \right)=2;{{p}_{3}}\left(2 \right)=4;\]

Количество различных перестановок длины $n$ всегда ограничено и равно $n!$ — это легко доказуемый факт из комбинаторики. Например, если мы захотим выписать все перестановки длины 5, то мы весьма заколебёмся, поскольку таких перестановок будет

Одной из ключевых характеристик всякой перестановки является количество инверсий в ней.

Определение. Инверсия в перестановке $p=\left({{a}_{1}};{{a}_{2}};...;{{a}_{n}} \right)$ — всякая пара $\left({{a}_{i}};{{a}_{j}} \right)$ такая, что $i \lt j$, но ${{a}_{i}} \gt {{a}_{j}}$. Проще говоря, инверсия — это когда большее число стоит левее меньшего (не обязательно соседнего).

Мы будем обозначать через $N\left(p \right)$ количество инверсий в перестановке $p$, но будьте готовы встретиться и с другими обозначениями в разных учебниках и у разных авторов — единых стандартов тут нет. Тема инверсий весьма обширна, и ей будет посвящён отдельный урок. Сейчас же наша задача — просто научиться считать их в реальных задачах.

Например, посчитаем количество инверсий в перестановке $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$:

\[\left(4;3 \right);\left(4;2 \right);\left(5;3 \right);\left(5;2 \right);\left(3;2 \right).\]

Таким образом, $N\left(p \right)=5$. Как видите, ничего страшного в этом нет. Сразу скажу: дальше нас будет интересовать не столько само число $N\left(p \right)$, сколько его чётность/ нечётность. И тут мы плавно переходим к ключевому термину сегодняшнего урока.

Что такое определитель

Пусть дана квадратная матрица $A=\left[ n\times n \right]$. Тогда:

Определение. Определитель матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ — это алгебраическая сумма $n!$ слагаемых, составленных следующим образом. Каждое слагаемое — это произведение $n$ элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, умноженное на (−1) в степени количество инверсий:

\[\left| A \right|=\sum\limits_{n!}{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]

Принципиальным моментом при выборе множителей для каждого слагаемого в определителе является тот факт, что никакие два множителя не стоят в одной строчке или в одном столбце.

Благодаря этому можно без ограничения общности считать, что индексы $i$ множителей ${{a}_{i;j}}$ «пробегают» значения 1, ..., $n$, а индексы $j$ являются некоторой перестановкой от первых:

А когда есть перестановка $p$, мы легко посчитаем инверсии $N\left(p \right)$ — и очередное слагаемое определителя готово.

Естественно, никто не запрещает поменять местами множители в каком-либо слагаемом (или во всех сразу — чего мелочиться-то?), и тогда первые индексы тоже будут представлять собой некоторую перестановку. Но в итоге ничего не поменяется: суммарное количество инверсий в индексах $i$ и $j$ сохраняет чётность при подобных извращениях, что вполне соответствует старому-доброму правилу:

От перестановки множителей произведение чисел не меняется.

Вот только не надо приплетать это правило к умножению матриц — в отличие от умножения чисел, оно не коммутативно. Но это я отвлёкся.:)

Матрица 2x2

Вообще-то можно рассмотреть и матрицу 1x1 — это будет одна клетка, и её определитель, как нетрудно догадаться, равен числу, записанному в этой клетке. Ничего интересного.

Поэтому давайте рассмотрим квадратную матрицу размером 2x2:

\[\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\\end{matrix} \right]\]

Поскольку количество строк в ней $n=2$, то определитель будет содержать $n!=2!=1\cdot 2=2$ слагаемых. Выпишем их:

\[\begin{align} & {{\left(-1 \right)}^{N\left(1;2 \right)}}\cdot {{a}_{11}}\cdot {{a}_{22}}={{\left(-1 \right)}^{0}}\cdot {{a}_{11}}\cdot {{a}_{22}}={{a}_{11}}{{a}_{22}}; \\ & {{\left(-1 \right)}^{N\left(2;1 \right)}}\cdot {{a}_{12}}\cdot {{a}_{21}}={{\left(-1 \right)}^{1}}\cdot {{a}_{12}}\cdot {{a}_{21}}={{a}_{12}}{{a}_{21}}. \\\end{align}\]

Очевидно, что в перестановке $\left(1;2 \right)$, состоящей из двух элементов, нет инверсий, поэтому $N\left(1;2 \right)=0$. А вот в перестановке $\left(2;1 \right)$ одна инверсия имеется (собственно, 2 < 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Итого универсальная формула вычисления определителя для матрицы 2x2 выглядит так:

\[\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} \\\end{matrix} \right|={{a}_{11}}{{a}_{22}}-{{a}_{12}}{{a}_{21}}\]

Графически это можно представить как произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов на побочной:

Определитель матрицы 2x2

Рассмотрим пару примеров:

\[\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end{matrix} \right|;\quad \left| \begin{matrix} 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\end{matrix} \right|.\]

Решение. Всё считается в одну строчку. Первая матрица:

И вторая:

Ответ: −3; −161.

Впрочем, это было слишком просто. Давайте рассмотрим матрицы 3x3 — там уже интересно.

Матрица 3x3

Теперь рассмотрим квадратную матрицу размера 3x3:

\[\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\\end{matrix} \right]\]

При вычислении её определителя мы получим $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ слагаемых — ещё не слишком много для паники, но уже достаточно, чтобы начать искать какие-то закономерности. Для начала выпишем все перестановки из трёх элементов и посчитаем инверсии в каждой из них:

\[\begin{align} & {{p}_{1}}=\left(1;2;3 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{1}} \right)=N\left(1;2;3 \right)=0; \\ & {{p}_{2}}=\left(1;3;2 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{2}} \right)=N\left(1;3;2 \right)=1; \\ & {{p}_{3}}=\left(2;1;3 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{3}} \right)=N\left(2;1;3 \right)=1; \\ & {{p}_{4}}=\left(2;3;1 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{4}} \right)=N\left(2;3;1 \right)=2; \\ & {{p}_{5}}=\left(3;1;2 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{5}} \right)=N\left(3;1;2 \right)=2; \\ & {{p}_{6}}=\left(3;2;1 \right)\Rightarrow N\left({{p}_{6}} \right)=N\left(3;2;1 \right)=3. \\\end{align}\]

Как и предполагалось, всего выписано 6 перестановок ${{p}_{1}}$, ... ${{p}_{6}}$ (естественно, можно было бы выписать их в другой последовательности — суть от этого не изменится), а количество инверсий в них меняется от 0 до 3.

В общем, у нас будет три слагаемых с «плюсом» (там, где $N\left(p \right)$ — чётное) и ещё три с «минусом». А в целом определитель будет считаться по формуле:

\[\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\\end{matrix} \right|=\begin{matrix} {{a}_{11}}{{a}_{22}}{{a}_{33}}+{{a}_{12}}{{a}_{23}}{{a}_{31}}+{{a}_{13}}{{a}_{21}}{{a}_{32}}- \\ -{{a}_{13}}{{a}_{22}}{{a}_{31}}-{{a}_{12}}{{a}_{21}}{{a}_{33}}-{{a}_{11}}{{a}_{23}}{{a}_{32}} \\\end{matrix}\]

Вот только не надо сейчас садиться и яростно зубрить все эти индексы! Вместо непонятных цифр лучше запомните следующее мнемоническое правило:

Правило треугольника. Для нахождения определителя матрицы 3x3 нужно сложить три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников со стороной, параллельной этой диагонали, а затем вычесть такие же три произведения, но на побочной диагонали. Схематически это выглядит так:

Определитель матрицы 3x3: правило треугольников

Именно эти треугольники (или пентаграммы — кому как больше нравится) любят рисовать во всяких учебниках и методичках по алгебре. Впрочем, не будем о грустном. Давайте лучше посчитаем один такой определитель — для разминки перед настоящей жестью.:)

Задача. Вычислите определитель:

\[\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\end{matrix} \right|\]

Решение. Работаем по правилу треугольников. Сначала посчитаем три слагаемых, составленных из элементов на главной диагонали и параллельно ей:

\[\begin{align} & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end{align}\]

Теперь разбираемся с побочной диагональю:

\[\begin{align} & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end{align}\]

Осталось лишь вычесть из первого числа второе — и мы получим ответ:

Вот и всё!

Тем не менее, определители матриц 3x3 — это ещё не вершина мастерства. Самое интересное ждёт нас дальше.:)

Общая схема вычисления определителей

Как мы знаем, с ростом размерности матрицы $n$ количество слагаемых в определителе составляет $n!$ и быстро растёт. Всё-таки факториал — это вам не хрен собачий довольно быстро растущая функция.

Уже для матриц 4x4 считать определители напролом (т.е. через перестановки) становится как-то не оч. Про 5x5 и более вообще молчу. Поэтому к делу подключаются некоторые свойства определителя, но для их понимания нужна небольшая теоретическая подготовка.

Готовы? Поехали!

Что такое минор матрицы

Пусть дана произвольная матрица $A=\left[ m\times n \right]$. Заметьте: не обязательно квадратная. В отличие от определителей, миноры — это такие няшки, которые существуют не только в суровых квадратных матрицах. Выберем в этой матрице несколько (например, $k$) строк и столбцов, причём $1\le k\le m$ и $1\le k\le n$. Тогда:

Определение. Минор порядка $k$ — определитель квадратной матрицы, возникающей на пересечении выбранных $k$ столбцов и строк. Также минором мы будем называть и саму эту новую матрицу.

Обозначается такой минор ${{M}_{k}}$. Естественно, у одной матрицы может быть целая куча миноров порядка $k$. Вот пример минора порядка 2 для матрицы $\left[ 5\times 6 \right]$:

Выбор $k = 2$ столбцов и строк для формирования минора

Совершенно необязательно, чтобы выбранные строки и столбцы стояли рядом, как в рассмотренном примере. Главное, чтобы количество выбранных строк и столбцов было одинаковым (это и есть число $k$).

Есть и другое определение. Возможно, кому-то оно больше придётся по душе:

Определение. Пусть дана прямоугольная матрица $A=\left[ m\times n \right]$. Если после вычеркивания в ней одного или нескольких столбцов и одной или нескольких строк образуется квадратная матрица размера $\left[ k\times k \right]$, то её определитель — это и есть минор ${{M}_{k}}$. Саму матрицу мы тоже иногда будем называть минором — это будет ясно из контекста.

Как говорил мой кот, иногда лучше один раз навернуться с 11-го этажа есть корм, чем мяукать, сидя на балконе.

Пример. Пусть дана матрица

Выбирая строку 1 и столбец 2, получаем минор первого порядка:

\[{{M}_{1}}=\left| 7 \right|=7\]

Выбирая строки 2, 3 и столбцы 3, 4, получаем минор второго порядка:

\[{{M}_{2}}=\left| \begin{matrix} 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\end{matrix} \right|=5-18=-13\]

А если выбрать все три строки, а также столбцы 1, 2, 4, будет минор третьего порядка:

\[{{M}_{3}}=\left| \begin{matrix} 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\end{matrix} \right|\]

Читателю не составит труда найти и другие миноры порядков 1, 2 или 3. Поэтому идём дальше.

Алгебраические дополнения

«Ну ok, и что дают нам эти миньоны миноры?» — наверняка спросите вы. Сами по себе — ничего. Но в квадратных матрицах у каждого минора появляется «компаньон» — дополнительный минор, а также алгебраическое дополнение. И вместе эти два ушлёпка позволят нам щёлкать определители как орешки.

Определение. Пусть дана квадратная матрица $A=\left[ n\times n \right]$, в которой выбран минор ${{M}_{k}}$. Тогда дополнительный минор для минора ${{M}_{k}}$ — это кусок исходной матрицы $A$, который останется при вычёркивании всех строк и столбцов, задействованных при составлении минора ${{M}_{k}}$:

Дополнительный минор к минору ${{M}_{2}}$

Уточним один момент: дополнительный минор — это не просто «кусок матрицы», а определитель этого куска.

Обозначаются дополнительные миноры с помощью «звёздочки»: $M_{k}^{*}$:

где операция $A\nabla {{M}_{k}}$ буквально означает «вычеркнуть из $A$ строки и столбцы, входящие в ${{M}_{k}}$». Эта операция не является общепринятой в математике — я её сам только что придумал для красоты повествования.:)

Дополнительные миноры редко используются сами по себе. Они являются частью более сложной конструкции — алгебраического дополнения.

Определение. Алгебраическое дополнение минора ${{M}_{k}}$ — это дополнительный минор $M_{k}^{*}$, умноженный на величину ${{\left(-1 \right)}^{S}}$, где $S$ — сумма номеров всех строк и столбцов, задействованных в исходном миноре ${{M}_{k}}$.

Как правило, алгебраическое дополнение минора ${{M}_{k}}$ обозначается через ${{A}_{k}}$. Поэтому:

\[{{A}_{k}}={{\left(-1 \right)}^{S}}\cdot M_{k}^{*}\]

Сложно? На первый взгляд — да. Но это не точно. Потому что на самом деле всё легко. Рассмотрим пример:

Пример. Дана матрица 4x4:

Выберем минор второго порядка

\[{{M}_{2}}=\left| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\end{matrix} \right|\]

Капитан Очевидность как бы намекает нам, что при составлении этого минора были задействованы строки 1 и 4, а также столбцы 3 и 4. Вычёркиваем их — получим дополнительный минор:

Осталось найти число $S$ и получить алгебраическое дополнение. Поскольку мы знаем номера задействованных строк (1 и 4) и столбцов (3 и 4), всё просто:

\[\begin{align} & S=1+4+3+4=12; \\ & {{A}_{2}}={{\left(-1 \right)}^{S}}\cdot M_{2}^{*}={{\left(-1 \right)}^{12}}\cdot \left(-4 \right)=-4\end{align}\]

Ответ: ${{A}_{2}}=-4$

Вот и всё! По сути, всё различие между дополнительным минором и алгебраическим дополнением — только в минусе спереди, да и то не всегда.

Теорема Лапласа

И вот мы пришли к тому, зачем, собственно, все эти миноры и алгебраические дополнения были нужны.

Теорема Лапласа о разложении определителя. Пусть в матрице размера $\left[ n\times n \right]$ выбрано $k$ строк (столбцов), причём $1\le k\le n-1$. Тогда определитель этой матрицы равен сумме всех произведений миноров порядка $k$, содержащихся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения:

\[\left| A \right|=\sum{{{M}_{k}}\cdot {{A}_{k}}}\]

Причём таких слагаемых будет ровно $C_{n}^{k}$.

Ладно, ладно: про $C_{n}^{k}$ — это я уже понтуюсь, в оригинальной теореме Лапласа ничего такого не было. Но комбинаторику никто не отменял, и буквально беглый взгляд на условие позволит вам самостоятельно убедиться, что слагаемых будет именно столько.:)

Мы не будем её доказывать, хоть это и не представляет особой трудности — все выкладки сводятся к старым-добрым перестановкам и чётности/ нечётности инверсий. Тем не менее, доказательство будет представлено в отдельном параграфе, а сегодня у нас сугубо практический урок.

Поэтому переходим к частному случаю этой теоремы, когда миноры представляют собой отдельные клетки матрицы.

Разложение определителя по строке и столбцу

То, о чём сейчас пойдёт речь — как раз и есть основной инструмент работы с определителями, ради которого затевались вся эта дичь с перестановками, минорами и алгебраическими дополнениями.

Читайте и наслаждайтесь:

Следствие из Теоремы Лапласа (разложение определителя по строке/столбцу). Пусть в матрице размера $\left[ n\times n \right]$ выбрана одна строка. Минорами в этой строке будут $n$ отдельных клеток:

\[{{M}_{1}}={{a}_{ij}},\quad j=1,...,n\]

Дополнительные миноры тоже легко считаются: просто берём исходную матрицу и вычёркиваем строку и столбец, содержащие ${{a}_{ij}}$. Назовём такие миноры $M_{ij}^{*}$.

Для алгебраического дополнения ещё нужно число $S$, но в случае с минором порядка 1 это просто сумма «координат» клетки ${{a}_{ij}}$:

И тогда исходный определитель можно расписать через ${{a}_{ij}}$ и $M_{ij}^{*}$ согласно теореме Лапласа:

\[\left| A \right|=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{ij}}\cdot {{\left(-1 \right)}^{i+j}}\cdot {{M}_{ij}}}\]

Это и есть формула разложения определителя по строке . Но то же верно и для столбцов.

Из этого следствия можно сразу сформулировать несколько выводов:

1. Эта схема одинаково хорошо работает как для строк, так и для столбцов. На самом деле чаще всего разложение будет идти именно по столбцам, нежели по строкам.
2. Количество слагаемых в разложении всегда ровно $n$. Это существенно меньше $C_{n}^{k}$ и уж тем более $n!$.
3. Вместо одного определителя $\left[ n\times n \right]$ придётся считать несколько определителей размера на единицу меньше: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n-1 \right) \right]$.

Последний факт особенно важен. Например, вместо зверского определителя 4x4 теперь достаточно будет посчитать несколько определителей 3x3 — с ними мы уж как-нибудь справимся.:)

Задача. Найдите определитель:

\[\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end{matrix} \right|\]

Решение. Разложим этот определитель по первой строке:

\[\begin{align} \left| A \right|=1\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end{matrix} \right|+ & \\ 2\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+2}}\cdot \left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end{matrix} \right|+ & \\ 3\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+3}}\cdot \left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\end{matrix} \right|= & \\\end{align}\]

\[\begin{align} & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\end{align}\]

Задача. Найдите определитель:

\[\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right|\]

Решение. Для разнообразия давайте в этот раз работать со столбцами. Например, в последнем столбце присутствуют сразу два нуля — очевидно, это значительно сократит вычисления. Сейчас увидите почему.

Итак, раскладываем определитель по четвёртому столбцу:

\[\begin{align} \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right|=0\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|+ & \\ +1\cdot {{\left(-1 \right)}^{2+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|+ & \\ +1\cdot {{\left(-1 \right)}^{3+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|+ & \\ +0\cdot {{\left(-1 \right)}^{4+4}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right| & \\\end{align}\]

И тут — о, чудо! — два слагаемых сразу улетают коту под хвост, поскольку в них есть множитель «0». Остаётся ещё два определителя 3x3, с которыми мы легко разберёмся:

\[\begin{align} & \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{matrix} \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\end{align}\]

Возвращаемся к исходнику и находим ответ:

\[\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right|=1\cdot \left(-1 \right)+\left(-1 \right)\cdot 1=-2\]

Ну вот и всё. И никаких 4! = 24 слагаемых считать не пришлось.:)

Ответ: −2

Основные свойства определителя

В последней задаче мы видели, как наличие нулей в строках (столбцах) матрицы резко упрощает разложение определителя и вообще все вычисления. Возникает естественный вопрос: а нельзя ли сделать так, чтобы эти нули появились даже в той матрице, где их изначально не было?

Ответ однозначен: можно . И здесь нам на помощь приходят свойства определителя:

1. Если поменять две строчки (столбца) местами, определитель не изменится;
2. Если одну строку (столбец) умножить на число $k$, то весь определитель тоже умножится на число $k$;
3. Если взять одну строку и прибавить (вычесть) её сколько угодно раз из другой, определитель не изменится;
4. Если две строки определителя одинаковы, либо пропорциональны, либо одна из строк заполнена нулями, то весь определитель равен нулю;
5. Все указанные выше свойства верны и для столбцов.
6. При транспонировании матрицы определитель не меняется;
7. Определитель произведения матриц равен произведению определителей.

Особую ценность представляет третье свойство: мы можем вычитать из одной строки (столбца) другую до тех пор, пока в нужных местах не появятся нули .

Чаще всего расчёты сводится к тому, чтобы «обнулить» весь столбец везде, кроме одного элемента, а затем разложить определитель по этому столбцу, получив матрицу размером на 1 меньше.

Давайте посмотрим, как это работает на практике:

Задача. Найдите определитель:

\[\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end{matrix} \right|\]

Решение. Нулей тут как бы вообще не наблюдается, поэтому можно «долбить» по любой строке или столбцу — объём вычислений будет примерно одинаковым. Давайте не будем мелочиться и «обнулим» первый столбец: в нём уже есть клетка с единицей, поэтому просто возьмём первую строчку и вычтем её 4 раза из второй, 3 раза из третьей и 2 раза из последней.

В результате мы получим новую матрицу, но её определитель будет тем же:

\[\begin{matrix} \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end{matrix} \right|\begin{matrix} \downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\end{matrix}= \\ =\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \\\end{matrix} \right|= \\ =\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\\end{matrix} \right| \\\end{matrix}\]

Теперь с невозмутимостью Пятачка раскладываем этот определитель по первому столбцу:

\[\begin{matrix} 1\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix} -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end{matrix} \right|+0\cdot {{\left(-1 \right)}^{2+1}}\cdot \left| ... \right|+ \\ +0\cdot {{\left(-1 \right)}^{3+1}}\cdot \left| ... \right|+0\cdot {{\left(-1 \right)}^{4+1}}\cdot \left| ... \right| \\\end{matrix}\]

Понятно, что «выживет» только первое слагаемое — в остальных я даже определители не выписывал, поскольку они всё равно умножаются на ноль. Коэффициент перед определителем равен единице, т.е. его можно не записывать.

Зато можно вынести «минусы» из всех трёх строк определителя. По сути, мы трижды вынесли множитель (−1):

\[\left| \begin{matrix} -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end{matrix} \right|=\cdot \left| \begin{matrix} 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end{matrix} \right|\]

Получили мелкий определитель 3x3, который уже можно посчитать по правилу треугольников. Но мы попробуем разложить и его по первому столбцу — благо в последней строчке гордо стоит единица:

\[\begin{align} & \left(-1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end{matrix} \right|\begin{matrix} -7 \\ -2 \\ \uparrow \\\end{matrix}=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end{matrix} \right|= \\ & =\cdot \left| \begin{matrix} -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end{matrix} \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end{matrix} \right| \\\end{align}\]

Можно, конечно, ещё поприкалываться и разложить матрицу 2x2 по строке (столбцу), но мы же с вами адекватны, поэтому просто посчитаем ответ:

\[\left(-1 \right)\cdot \left| \begin{matrix} -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end{matrix} \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\]

Вот так и разбиваются мечты. Всего-то −160 в ответе.:)

Ответ: −160.

Парочка замечаний перед тем, как мы перейдём к последней задаче:

1. Исходная матрица была симметрична относительно побочной диагонали. Все миноры в разложении тоже симметричны относительно той же побочной диагонали.
2. Строго говоря, мы могли вообще ничего не раскладывать, а просто привести матрицу к верхнетреугольному виду, когда под главной диагональю стоят сплошные нули. Тогда (в точном соответствии с геометрической интерпретацией, кстати) определитель равен произведению ${{a}_{ii}}$ — чисел на главной диагонали.

Задача. Найдите определитель:

\[\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end{matrix} \right|\]

Решение. Ну, тут первая строка прямо-таки напрашивается на «обнуление». Берём первый столбец и вычитаем ровно один раз из всех остальных:

\[\begin{align} & \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end{matrix} \right|= \\ & =\left| \begin{matrix} 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & 25-5 & 125-5 & 625-5 \\\end{matrix} \right|= \\ & =\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\end{matrix} \right| \\\end{align}\]

Раскладываем по первой строке, а затем выносим общие множители из оставшихся строк:

\[\cdot \left| \begin{matrix} 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\end{matrix} \right|=\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end{matrix} \right|\]

Снова наблюдаем «красивые» числа, но уже в первом столбце — раскладываем определитель по нему:

\[\begin{align} & 240\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end{matrix} \right|\begin{matrix} \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end{matrix}=240\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end{matrix} \right|= \\ & =240\cdot {{\left(-1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix} 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end{matrix} \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end{align}\]

Порядок. Задача решена.

Ответ: 1440